设边长1，顶面中心向下0.6处与顶面的四个顶点连线挖出一块四棱锥，俯视剩余部分切两条对角线分成四块。 本帖最后由 musouKazagami 于 2016-1-17 16:18 编辑
4.
蛋糕边长a，高度b。体积是a^2*b，有糖霜的面积是a^2+4*a*b。要切成每块的体积都是a^2*b/5，糖霜面积是(a^2+4*a*b)/5（还是写成a*(a+4*b)/5好了）。
先在蛋糕正中间挖出一个长方体，四边和蛋糕的四边对齐。这个长方体的体积等于a^2*b/5，顶面面积等于a*(a+4*b)/5。所以它的高等于(a*b)/(a+4*b)，长和宽的乘积等于a*(a+4*b)/5。
然后把剩下的蛋糕恒切一刀，竖切一刀就好了。
话说，这蛋糕是正方体还是正方形柱？我是按正方形柱算的。
本帖最后由 不可知的彼岸 于 2016-1-17 20:47 编辑
大家是有多恨这块生日蛋糕啊，都已经到了要想方设法把它大卸八块、碎尸万段的地步了吗（笑）。
其实大家想出来的“分尸”方法也很好啦。甚至论构思之细致要远远超过了原答案。不过……相对简单的标准答案还是没有人想到啊……
在这里给出几个提示吧：
①不论是正方体还是正方形柱，此方法对形状为正方形的蛋糕一律适用。
②用不着分离糖霜和蛋糕本体，直接带着切。
③就本题而言，切割成用于拼接的小蛋糕块不超过10块。
大家的大致思路是对的（切割拼接思想），离标准答案就差那么一点点了。再想想看吧！
↑如图俯视蛋糕并按颜色竖直切成6块，每边上两色的比例是4:1。
因为是顶面为正方形的棱柱，为了无视高度必须同时将顶面的面积与周长五等分。 院长each 发表于 2016-1-17 22:58
↑如图俯视蛋糕并按颜色竖直切成6块，每边上两色的比例是4:1。
因为是顶面为正方形的棱柱，为了无视高度 ...
嗯，基本上也就是这样了。标准答案的中心思想应该就是这样。只不过它是将蛋糕切成8块然后再拼接。如下：
解：设蛋糕顶面图形为正方形ABCD 首先沿两条对角线AC、BD切割两刀。然后，以顶点A为起点，将正方形的周长五等分。（以下以顺时针方向为标准，逆时针方向情况相同，但字母表示不同）分别记等分点为E、F、G、H。设正方形两对角线的交点为O，再分别沿OA，OE，OF，OG，OD再切五刀，即可得满足题目要求的五份蛋糕（△OEA,△OHA，△OBE＋△OFB,△OHD＋△ODG，△OGC＋△OFC）。问题解答完毕。
其实，两者在本质上是相同的，只不过是表现形式不一样。将图中紫色的部分沿对角线再切一刀，重新组合后就是标准答案了。
这道题目是“分割重组”思想的一道比较典型的例题。它所用的原理其实就是“无论三角形的形状如何，其面积都等于底与高的乘积”这一原理。题目中的“五等分”可以推广“n等分”。此证明最早在1736年由拉蒙 麦格赛斯给出。
现在看来，当前剩下的唯一问题就是：在经过这么多次切割后，这生日蛋糕还能吃吗？（笑） 文科生表示根本看看不懂你们在说些什么O_O
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