益智問答（６）繪馬
本帖最后由 FateCrazyLion 于 2016-3-1 21:05 编辑農曆年就要到了，新春大家都會去廟裡踏春走走，捐個香油錢許下願望，祈求一年平安。不少寺廟現在都提供空白的卡片或小木片，讓信眾寫下心願，掛在廟旁的架子或樹上，讓神明加持。鹿耳門天后宮的許願牌就非常有名氣，每年都一牌難求。
像這樣在廟裡的掛許願木牌，起源應該是日本的「繪馬」。就像我們殺豬殺雞拜拜一樣，古老的日本人會敬獻馬匹給神社或寺廟。但是馬實在太貴了，於是就用畫著馬的木板代替，就稱為繪馬。
木板的背後總是要寫這是誰敬獻的，除了名字外，也順便也寫上住所和心願。於是，慢慢演進之下，就變成在木板上許願掛在廟裡了。
但是在古早江戶時代（1603~1867）的日本，寫在木板上的不只是心願，不少繪馬上掛的是數學問題！第一次知道的人大概都會大吃一驚。這是怎麼回事，是作業做不出來要神明幫忙算是嗎？
以上摘自 "科學月刊，５５４期．Page 98"
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以下是搞笑的：
慧 音：原來每次只要我出了很難的題目，妳們就買油豆腐找八雲藍幫忙，對吧．．．
八雲藍：最近外面有一大堆可愛的喵橙畫像，不多吃點不行．．．
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言歸正傳，摘錄２題，如果有人願意計時並告訴我花了多少時間，我會很感激的～
這２題如果出在考卷上，我應該會留到最後～思考的方向和正確的計算是一樣重要！
要有過程！
http://www.nyasama.com/bsup/nyaup/attachment/album/201602/26/160109sdhw04d44h910f5i.jpg
一個８公分長的正三角形，塞了３個一樣大的正方形，剩下的部份是４個正三角形和３個等腰三角形
求正方形邊長？（單位：公分）
以Ａ＊（Ｂ－（根號３））的方式回答！
這是得獎作品
http://www.nyasama.com/bsup/nyaup/attachment/album/201602/26/160101cggg377gk7obbig3.jpg
一個邊長１公分的六角形，內含３個１平方公分的正方形，求圖中"黑色正三角形"的面積？
以Ｃ＊（根號３）－Ｄ的方式回答！
Ｃ以帶小數點的方式回答，Ｄ是整數！ 本帖最后由 时间停止le 于 2016-2-26 16:48 编辑
第一个是8＊（2-根號３）？第二个似乎找到方法，可是三角函数实在是不想再碰刚才串题了，明明刚才都没有图
要算错了肯定是我连余弦30°都记错了 本帖最后由 清水星 于 2016-2-26 20:07 编辑
一
如图，设点ABCDE，并且画一条辅助线FG垂直于直线ACDE
因为小三角形△ABC是正三角形，而且红色部分图形为正方形，所以正方形边长FC=AB=……=AC
而且正三角形的三个内角都为60°[∠BCA=60°]，还有∠BCF=90°，所以∠FCG=180°-∠BCA-∠BCF=30°
因为FG⊥CD，且∠FCG=30°，所以直角三角形△FCG可知CG="根号3"/2FC
那么
AE=2(AC+CG)=2(FC+"根号3"/2FC)
因为AE=8
所以正方形边长FC=8/(“根号３”+2)=8×(2-“根号３”)
二
这题……用键盘打过程会比上一题更麻烦的……
会码字很久……
看图，设置点A~O，而且连上DE和EF和BE和FN，并且CL垂直于AB，CM垂直于DE①因为这是一个正六边形，而且里面三个都是正方形，所以AB平行JK平行HF
②DB和AE都是正方形边长所以BD=AE，并且正六边行六个内角都相等[都是120°]
那么旁边都是直角的∠CAB和∠CBA就会有这么个关系——∠CAB=∠CBA=120°-90°=30°
因为 BD=AE而且∠CAB=∠CBA，所以△ABC是一个等腰三角形，AC=BC，而且CD=CE，所以△DCE也是个等腰三角形
但是对顶角∠ACB=∠DCE，所以△ABC和△DCE是等比等腰三角形，所以AB平行ED
根据①、②，就可以知道AB平行ED平行JK平行HF→ED平行HF——设为条件③
继续条件②，因为CL垂直于AB，且△ABC是一个等腰三角形，所以BL=AL=1/2AB
而∠CAB=∠CBA=30°，所以直角三角形△CLB的BC=“2倍根号3”/3 BL=“根号3”/3AB=“根号3”/3
那么CD=BD-BC=1-“根号3”/3 =(3-“根号3”)/3
另外，因为△ABC和△DCE是等比等腰三角形，那么∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°
又因为同为正方形的角∠AEG=∠CDG=90°，所以∠GDE=∠GED=90°-30°=60°设为条件④
所以△GDE也是等边三角形，所以DE=DG=EG
因为△DCE也是个等腰三角形，而且CM垂直于DE，那么ED=2DM=2EM
那么直角三角形△CDM的DM="根号3"/2CD="根号3"/2×(3-“根号3”)/3
那么ED=2DM=“根号3”-1
另外的另外△HGI是一个已知的等边三角形，所以对顶角∠HIG=∠EIF=60°
然后，因为AB=AE=KF=KN而且∠BAE=∠FKN=30°，所以△ABE和△KFN是全等等腰三角形
那么BF=FN而且∠EBA=∠KNF
又因为∠ABN=∠KNB，所以∠EBN=∠BNF，所以四边形□EFNB是一个梯形
所以EF平行BN，也所以EF平行BN平行DH平行HG→EF平行DH 设为条件⑤
而且HG平行EF→可知△IEF也是个等边三角形，那么IE=IF=EF而且∠IFE=60°设为条件⑥
根据条件③④⑤⑥
可以确定四边形□HDEF是一个平行四边形，所以HF=ED=“根号3”-1=HI+IF设为条件⑦
根据△IEF的推论过程，也可以知道△ODH也是等边三角形，加上□HDEF是一个平行四边形这个条件
可以知道HO=OD=DH=EF=IF=IE，那么FO=OH+ IF+HI=HI+2IF 且FO=AB=1，所以HI+2IF=1设为条件⑧
根据条件⑦⑧可得，△HGI的边HI=“2倍根号3”-3
那么△HGI面积S=“根号3”/4×HI2=5.25倍“根号3”-9
这么乱，还可能出错了233
关于计时……算出来的话不用5分钟，但是我码字用了一个多小时了……2333
本帖最后由 FateCrazyLion 于 2016-2-26 20:26 编辑
清水星大神：圖是沒辦法折的～
第一題：這的確是最快解法！
第二題．．．答對了！但是您的想法看來很複雜．．． 绘马的起源说法本来就不少破绽，顶多在上个世纪传到下台湾，溯其根源没准还在大陆，这杂志真随便。 本帖最后由 FateCrazyLion 于 2016-3-1 18:10 编辑
借用清水星大神的圖,連AK.我就想到答案了!
這正三角形的重心也必然是六角形的重心!!!
高=3*(1-(根號3/2))
面積=高的平方/(根號3)=5.25*(根號3)-9 (63*(根號3)-108)/12
另外有人提出這種做法
也是連AK,交GI於Y,用三角形AEY求出GI的邊長!
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