說到數學，想到誰問我題來著？

凤凰院凶真

想起來了，是一個大二的後輩，上學期快期末考試時問了我道微積分有關的數學題。我寫出來看有人能答出來不？答對有獎哦~（其實想勾引學霸現身）
Question 1:
If want to build a pyramid with given triangular base&given volume, minimizing total surface. what's the area of surface?

No geometry, no data.

清水星

凶真……英文看不明白怎么办呢

Paradox

给定底面三角形，就是已经知道底面三边长S1,S2,S3了；
又底面面积和体积都固定，所以这个三棱锥的高也固定是个H了；
所以考虑锥顶点到底面的垂直投影O点，说明下要达到表面积最小化（亦即侧面积最小化）则O点必须落底面三角形内，所以下面可以设O点到三边S1,S2,S3的距离分别是r1,r2,r3——
于是侧面积就合计是：S1*sqrt（r1^2+H^2）+S2*sqrt（r2^2+H^2）+S3*sqrt（r3^2+H^2）这个和的二分之一，问题等于解使这个值取最小时的r1,r2,r3。

根据前面O点落在底面三角形内的假设，（r1*S1+r2*S2+r3*S3）/2是底面三角形面积，一个定值比如A。

令R1=r1*S1，R2=r2*S2，R3=r3*S3这样吸收一下，则R1+R2+R3=2A，同样H1=S1*H等等，那么前面的带根号sqrt式经处理后是：sqrt（R1^2+H1^2）+sqrt（R2^2+H2^2）+sqrt（R3^2+H3^2），到这里如果要说与微积分有关，那无非就是去求导解了。

最好让他自己去求这个导……上档次点的话可以用拉格朗日乘数法，不过那该算最优化问题而不是单纯的微积分了（（

凤凰院凶真

清水星 发表于 2014-2-26 23:01
凶真……英文看不明白怎么办呢

我就是不想讓你做出來

贤狼假寐

看不懂英文...硬伤啊....

WTT

每个字母咱都认识！！！！

就是看不懂！（老梗

匿名的简化字

“直觉上来看好像是底面三角形的内心”
但是直觉这东西从来就靠不住
就在几分钟前才发现“三角形内到三边距离之和最小的点是三角形的内心”这个直觉是错误的
所以……
----------------------------认真一点来说呢----------------------------
“已知一个三棱锥，底面积和体积固定，问顶点位于什么位置时，三棱锥的表面积最小？”
更详细地，
已知三棱锥MABC，底面ABC的形状固定，BC=a，AC=b，AB=c，其面积为S，M到底面的距离固定为H，问M位于何处时，三棱锥的表面积最小？
设M在底面ABC上的投影为O，作O到BC、AC、AB的垂线，垂足分别为D、E、F，则：
三棱锥表面积S'=S+1/2(a*ha+b*hb+c*hc)，其中S、a、b、c是常数
且ha=sqrt(OD^2+H^2)，hb=sqrt(OE^2+H^2)，hc=sqrt(OF^2+H^2)
于是这可以看作一个多元函数的极值问题……如果令OD=x，OE=y，OF=z
则是求f(x,y,z)=(a*sqrt(x^2+H^2)+b*sqrt(y^2+H^2)+c*sqrt(z^2+H^2))的条件极小值，其中a、b、c、H为常数
这个函数有如下的约束条件：
a*x+b*y+c*z=2S=常数；
或z=(2S-a*x-b*y)/c
利用代入法消去z后，变为求函数f(x,y)的无条件极值。于是令f对x和y的一阶偏导数分别为0，且二阶偏导数符合条件……

……剩下的交给wolframalpha好了，只要能列出式子……
-------------------------还得让我现百度来复习高数---------------------------
我总觉得这道题应该有取巧的法子，因为上面那个算法实在太麻烦了。
或许放在极坐标系里会简单些？但这也只是猜测。
……如果发现了方便又好看的解法请务必告诉我一声

最后，“不用考高数真是太好了！”

Paradox

补上拆sqrt（R1^2+H1^2）+sqrt（R2^2+H2^2）+sqrt（R3^2+H3^2）这个最小值的放缩法，当时居然懵了没去想这方面……

因为这个是可以证明成立的（形式类似闵可夫斯基不等式）：
sqrt（R1^2+H1^2）+sqrt（R2^2+H2^2）+sqrt（R3^2+H3^2）
>=
sqrt【（R1+R2+R3）^2 + （H1+H2+H3）^2】=sqrt【（2A）^2+（H1+H2+H3）^2】，一个定值直接大破

再考察等号成立条件，根据对这个方向的证明得来的是【R1：H1=R2：H2=R3：H3】，它是可以成立的。

所以在绕过这个弯子之后也不需要求导了，只需要纯代数的演算去证明这个“仿闵可夫斯基不等式”，猜到了就并不难……应该可以很吓唬他一下吧23333

匿名的简化字

Paradox 发表于 2014-2-27 10:19
补上拆sqrt（R1^2+H1^2）+sqrt（R2^2+H2^2）+sqrt（R3^2+H3^2）这个最小值的放缩法，当时居然懵了没去想这方 ...

给跪先
花了半天总算弄明白闵可夫斯基不等式是怎么用的了（虽然一般的积分形式的证明还是没看懂）
……于是试着往下推导：
闵可夫斯基不等式
sqrt（R1^2+H1^2）+sqrt（R2^2+H2^2）+sqrt（R3^2+H3^2）
>=
sqrt[（R1+R2+R3）^2 + （H1+H2+H3）^2]=sqrt[（2A）^2+（H1+H2+H3）^2]中等号成立的条件是
R(x)=kH(x)，k为一常数
即R(x)/H(x)=k=常数
如前所述，R1=r1*S1，H1=H*S1
故有R(x)/H(x)=r(x)/H=常数
H已经固定不变，若令r(x)/H的值为一常数，则函数r(x)应为一常数函数，即恒有r(x)=C
体现在本题中，即r1=r2=r3=C
即“三棱锥顶点在底面上的投影点，到三条底边的距离相等”。
满足这一要求的顶点位置，只有“到底面的距离为H，且在底面的投影恰为底面三角形内心的点”（平面两侧成对）
----------上面没算错吧--------------
于是内心的直觉这次是正确的？

这不是神ID

最近喵玉殿学霸雄起啊