问个数学问题可以吗……

海洋牧师

是这样的，最近我在从网易公开课上学MIT的微分方程，所以总是建一些奇怪的模型
前几天我尝试修正一下人口增长的模型
简单模型是dP/dt=bP P为人口，是时间的函数P=P（t），b为出生率
但是好像这个模型没有考虑自然死亡啊
这是月人人口增长模型吗……

我又找了一下其他的模型，有考虑环境影响的，还有考虑定期收割的，但好像都没考虑自然死亡的……
于是我就建了一个奇怪的模型，不考虑环境影响的寿命有限物种数量增长模型

假设种群内每个个体都在且只在到达平均寿命时死亡，死亡前繁殖能力不变。
设P为个体数目，是时间的函数P=P(t)。
b为出生率，是常数。N为平均寿命，是常数。那么t时刻的增长速率等于t时刻的出生率减去（t-N）时刻的出生率（到达寿命的个体立刻死亡），得微分方程
dP/dt=bP(t)-bP(t-N)

嗯嗯嗯看上去是很合理的模型呢
嗯嗯嗯呃
这个怎么解
P（t-N）这个东西应该怎么处理啊

求解这个微分方程……

这不是神ID

这里有一群异常强大的理科狗。。

我这种高一菜比就不来凑热闹了。。

海洋牧师

这不是神ID 发表于 2014-5-20 12:23
这里有一群异常强大的理科狗。。

我这种高一菜比就不来凑热闹了。。

其实我也是高一的……只是在高中课程外接受一些奇怪的教育而产生了一些奇怪的兴趣而已……

lious

嗯………上完下午的课来解……
不过你可以搜一下一阶线性微分方程,应该可以找到
那个我手机打不出来的公式的………

drzzm64

不用管,分离变量,积分

krh

看到人口，大概就想到斐波那契数列
再看这个 P'=b(P(t)-P(t-N))
就越来越有斐波那契数列的模式了（斐波那契数列中，b=1，N=1）

因此猜测P的模式是斐波那契数列的通项：

P= x*(y^kt-z^kt)

然后求导，带入，对接，
虽然只有一个方程，要解3个未知数
不过我们可以令k=b，然后求y和z，只要还存在y和z满足方程，k=b这个假设就可以确立（x已经约掉了）
然后比对一下方程之后，可以分为两部分
lny=1-y^(-bN)
lnz=1+z^(-bN)

全是常数，分别解出来就行了（虽然我不会解指数方程）

最后发现y和z是共轭的

完

notebook

出生率减去死亡率，不就是人口增长率了？用得着这么麻烦么……

Satori觉

我只能默默膜拜下了

drzzm64

不对,这是方程组的一部分

灵梦家的西瓜

如果我没上过大学的话，估计还可以解一解，可惜我已经大学毕业了，完全不会。