今天碰到一个有趣的题目，和大家分享一下。

朔月

大家好，我是朔月~~
长话短说，今天自习碰到一个很有趣的题目，给大家分享一下，并提供一下自己的解法~~

题目：在一个半径为16的圆内任意放入650个点。给你一个中空的圆环。此圆环外径为3，内径为2。现在要求你用这个圆环盖住这650点中的至少10个点，可能吗？请证明你的理论。

嗯。的确是挺有趣的。不知道大家拿到题以后想到什么··········我是想到判定点和弹幕了··········
那么，我的解法是···········
······················
等等！这么有趣的题，说我自己的解法会让大家先入为主的············
那么，我就先放在这里了·······希望可以看到各种各样的答案~~
@paradox  @挂在墙上晃着 @koishisatori  来吧~~前辈们~~~

额，我来手画一下吧：

就是这样·········

朔月

嗯，好像没有call到，再来一次。
@Paradox  @挂在墙上晃着  @koishisatori  
不来一起做一下吗~~

贤狼假寐

一个大筐子里面放了650个鸡蛋，我一双手估计能抓10个出来
我要吃鸡蛋！！！！！！！！！！！（此人对鸡蛋的怨念已经MAX）

爱丽丝·玛格特罗伊德

现实→650个点全缩在以大圆心为中心，半径为2的圆范围内
不可控因素这么多，这游戏能玩？

冰冻西瓜

每个点控制一个面积为圆环面积的区域
意识流一下
650 * (3 ^ 2 - 2 ^ 2) / 10 = 325 > 16 ^ 2
因此有可能
（光速逃）

凤凰院凶真

发表个人观点啦

随机独立变量一般服从正态分布（独立变量就是各点之间没有联系啦），其概率密度为：




所以我们可以以圆心为中点，建坐标轴，这样平均值ｕ可以被认为是0，至于标准差 ，可以先不管它认为是已知量吧。

密度有了，就是在圆环的面积里积分啦。

环的积分就是：
修正：不是以10为底，是以e为底
（极坐标面积公式有忘记吗？圆的周长2πr乘以半径dr）


因为半径是2到3之间，所以上下限就这么取了。刚好积分有r的平方看到没！

然后积完公式还带着标准差 ，让h等于10看看它能等于几嘛！

标准差就是所有点离原点的距离的平均值。假设650个点中有100到200个点到原点的距离的和的平均值等于或近似我们所计算出的标准差，我们就可以认为可能有10个点落在圆环内。
除了正态分布以外，离散独立的点一般还遵循另一种分布：泊松分布

是单位面积内随机事件发生的平均概率，在这里可以理解成平均密度，即
650/(3.14*16*16) =0.8左右，k是点的数目650。
概率P在这里是定值，积分式子中的正态分布概率密度替换成它就行了。

问题的本身可以归结为：
当点服从某种分布时，在圆环内是否可以落有10个点，跟650没太大关系，取650，是为了让样本数量足够大，以达到稳定。

解决方法就是：
找到一种概率分布模型，用它的概率密度在环的面积内做积分，看积分后的结果是否大于10.

离散独立变量的分布，还包括：
[
不妨挑几种接近题目要求的分布模型都拿来试试

昨晚撸galgame，超happy的，所以没好好说明。名字叫Tiny Dungeon~Black and White ，里头的妹子都好萌！（我喜欢龙族小萝莉，声音让我颤抖了）

清水星

应该是可以的，当这些点的最大面积为大圆的1/650，那么10个点的面积就为大圆的1/65
10个点的面积就为16^2/65·π≈3.93846π，圆环面积为(3^2-2^2) ·π=5π[π就是圆周率]
5π>3.93846π
所以在这些点为最大面积的情况下10点总面积依然是比圆环的面积小，所以至少十点是有可能的
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以上是错误证明，因为内外径是指直径而不是半径，记错了~


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因为朔月告诉我这里内外径都当半径用，所以这样就没错了233

冬眠的小德

刚写完翻译，脑细胞不足
不过数学是什么？可以吃吗？
学理工的果然都是怪物吧

匿名的简化字

能说我没看懂吗
这里的点不是没有大小的吗
而且又是随便放的
那么跟圆环的形状又有什么关系呢
总会出现一种点的摆法使得圆环能覆盖住所有的点/覆盖不到任何一个点吧

杯具の香草

半径为16的圆面积256π，外径为3内径为2圆环面积 (1.5^2-1^2)π=1.25π
如果把一个点当做这里的一个单位的概念来看的话，1.25π——约3.9个单位面积，就算我四舍五入给它补到4，因为一个点相当于一个单位，所以这里就是相当于它最多只能有容纳4个点的面积，怎么看都不可能盖住10个单位的面积……（当然如果点是可以叠起的话那就另当别论了）
不过题目里的概念本身就很模糊；半径没有度量单位就不说了，这个“点”到底有多大？要是一个点就有那个圆那么大甚至更大呢？那650个点要放进去的话，是不是就是一个个往上叠？而一个个往上叠的话，上面那649个点又算不算是“在圆内”？……
最后只能说，不确定因素太多，无法判断……
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（LZ补图了）如果外径内径就当做半径的话，那圆环面积就是(9-4)π=5π，约15.7个单位，同样如果加入“一个点当做这里的一个单位”这个概念来看的话，那可以盖住10个点的概率就会大大增加；但由于点的大小和排布并不确定，所以依然不能百分百地说就一定是能盖住10个点啊……