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发表于 2016-4-17 22:24:03
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本帖最后由 院长each 于 2016-4-17 22:37 编辑
新第一題
一刀不剪就只有一種大小，顯然不行，所以至少要剪出兩個正方形，全部裁成1*1的正方形同理。
即用平方數拆169且要保證幾何上可行，不然169=144+25就是答案了，所以至少有三個正方形。
拆開後最大的平方數nˆ2（n≠13,1）顯然要擺在大正方形的角落即共用一個直角，且此時正方形數目f(nˆ2)≥[169/nˆ2]+1，因爲13是質數且n不等於13、1，所以其中169/nˆ2必然不是整數。
n=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12時，f(nˆ2)≥43,19,11,7,5,4,3,2,2,2,2遞減。
只要找出特定的n與對應的解法，使此解法下的f(n2)小於等於fmin((n-1)ˆ2)即可。
n=7時存在fmin(7ˆ2)=11，而f（4ˆ2）≥11顯然，所以要求的n在4、5、6、7之間，且5≤f(nˆ2)≤11。
n=4且f(4ˆ2)=11時169=16*10+9*1，此時沒有任何一排、一列可塞滿13格，所以f(4ˆ2)＞11，所以要求的n在5、6、7之間，且7≤f(nˆ2)≤11。
n=5時，169=25*6+16*1+1*3=25*6+9*2+1=25*5+9*4+4*2，所以f(5ˆ2)≥6+2+1=9。但是5*5的正方形最多取[13/5]2=4個，所以169=25*4+69=25*4+16*4+4*1+1*1=25*4+16*3+9*2=25*4+16*2+9*4+1*1
=25*3+94=25*3+16*5+9*1+4*1+1*1=25*3+16*4+9*3+1*3=25*3+16*3+9*5+1*1
=25*2+119=25*2+16*7+4*1+1*3=25*2+16*6+23=25*2+16*5+39
=25*1+144=25+16*9
所以f(5ˆ2)=9時169=25*4+16*3+9*2，f(5ˆ2)=10時169=25*4+16*4+4*1+1*1=25+16*9。
因爲5*3＞13所以169=25*4+16*3+9*2時至少有兩對5*5的正方形共行、至少有兩對5*5的正方形共列，此時同行、列的剩餘3格必須由3*3的正方形補齊，之後的還在想；
f(5ˆ2)=10且169=25+16*9時有8行和8列不與5*5的正方形相重疊，之用4*4的正方形無法湊齊13格，排除。
n=6時，若分出了4個6*6的正方形，f(6ˆ2)=29，所以6*6的正方形最多分出3個。169=36*3+61，此時f(6ˆ2)≥3+6*2=15，所以6*6的正方形最多分出2個，之後的還在想。
n=7，f(7ˆ2)=11的解如下：
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